Proposición 26

Enunciado

Un espacio topológico $X$ es localmente conexo si, y sólo si, para todo abierto $U$ de $X$, cada componente conexa de $U$ es un abierto en $X$.^[1]

Demostración

$(⟹)$ Supongamos que $X$ es localmente conexo. Sea $C$ una componente conexa del abierto $U$ de $X$. Si $x\in C$, podemos elegir un entorno conexo $V\in \mathcal{E}(x)$ tal que $V\subset U$. Como $V$ es conexo, debe estar enteramente contenido en la componente $C$ de $U$. Así, $C$ es abierto en $X$^[2].

$(⟸)$ Supongamos que las componentes conexas de los abiertos de $X$ son abiertas. Dado un punto $x\in X$ y un entorno $U\in \mathcal{E}(x)$, tomamos la componente conexa $C$ de $U$ que contiene a $x$. Así, $C$ es conexo; y como es abierto en $X$ por hipótesis, $X$ es localmente conexo.